Model elektryczny tensora naprężeń

Trwałość, lekkość i taniość konstrukcji technicznych można osiągnąć tylko na podstawie wnikliwej analizy rozkładu naprężeń i odkształceń występujących w konstrukcji pod działaniem obciążeń. W prostych przypadkach do wyznaczania naprężeń wystarczają metody nauki o wytrzymałości materiałów, oparte na hipotezie liniowego rozkładu naprężeń w badanych przekrojach, które pozostają płaskie również po odkształceniu elementu [1]. Założenia te są bliskie rzeczywistości tylko w takich elementach, w których wymiary przekrojów są bardzo małe w porównaniu z długością elementu, a więc w zasadzie metody wytrzymałości materiałów mogą być stosowane tylko do prętów i belek. Przedmiotem naszych rozważań będzie teoria sprężystości, która została znakomicie opracowana w czasie swego przeszło stuletniego rozwoju i dzisiaj stanowi wypróbowane narzędzie do badania rozkładu naprężeń i odkształceń w elementach konstrukcyjnych o dowolnej postaci. Jednak struktura matematyczna teorii sprężystości, zawierająca wiele układów równań różniczkowych, jest bardzo skomplikowana i nastręcza ogromne trudności przy rozwiązywaniu zagadnień praktycznych. Jednym ze sposobów uproszczenia zagadnienia jest sprowadzenie go — w miarę możności — do układu płaskiego. Mamy wtedy do czynienia z dwiema zmiennymi niezależnymi i, po wprowadzeniu bihamonicznej funkcji naprężeń, z układem trzech równań różniczkowych.

ELECTRICAL MODEL OF THE STRESS TENSOR

Current varying according to the sinusoidal law can be regarded as a vector on a plane. The absolute value of this vector is equal to the amplitude, and the angle of inclination with respect to any arbitrary fixed coordinate axis is equal to the phase shift. If a conductor having the form of a thin plate, and made of material with a specific conductance which is much smaller than the conductivity of metal, is fed by a multiphase variable current, through metal electrodes attached to the boundary of the plate, then through any arbitrary small cross-section perpendicular to the plate the flow of current is represented by a vector which rotates in the plane so that during every period the end of the vector traces an ellipse. It is shown in the paper that in order to describe this fact it should be assumed that the current density at any point of the plate is a tensor which being multiplied by the vector of the cross-section containing the given point yields the vector of variable current flowing through the cross-section considered, with the appropriate amplitude and phase. There exists an exact analogy between the tensor of the variable current in the conductive plate, connected with the multiphase system, and the stress tensor in an elastic plate subjected to boundary forces, provided the values of the forces are proportional to the amplitudes of the multiphase currents, while the angles between them are equal to the angles of phase shifts between the currents of the multiphase system. The tensor density field of variable current can be determined by means of the suggested electrical system which makes it possible to measure at every point of the plate the potential gradients proportional to the current density. Moreover, the author explains the meaning of the Saint-Venant principle in the electric model of the stress tensor. The method suggested is illustrated by an example of solving in the electrical way the problem of stress distribution in an infinite wedge—that is one of the classical problems of the theory of elasticity.