Naprężeniowy warunek bezpieczeństwa w przypadku niekonserwatywnych zagadnień stateczności sprężystej

Typowym przykładem niekonserwatywnych obciążeń w teorii stateczności sprężystej są obciążenia śledzące o kierunku działania zmiennym w trakcie wyboczenia. Już E.L. Nikolai [12] zwrócił uwagę na konieczność stosowania kinetycznego kryterium stateczności w przypadku niektórych problemów tego typu. Klasyczny już dziś przypadek siły śledzącej, działającej na swobodnym końcu pręta jednostronnie utwierdzonego, rozwiązał po raz pierwszy M. Beck [1]. Podano również szereg metod przybliżonych obliczania siły krytycznej przy problemach niekonserwatywnych. W tym świetle coraz większego znaczenia nabiera zagadnienie stosowalności wyprowadzonych wzorów w praktyce inżynierskiej. Wydaje się więc rzeczą niezbędną analiza stanu podkrytycznego i sformułowanie odpowiedniego warunku bezpieczeństwa; najbardziej przekonywującą wydaje się przy tym analiza rozkładu naprężeń w trakcie drgań, nawiązująca do kinetycznego kryterium stateczności i wyrażenie warunku bezpieczeństwa przez ograniczenie kresu górnego wartości bezwzględnej naprężenia występującego w trakcie drgań i będącego funkcją miejsca i czasu. W obecnej pracy przeprowadzimy taką analizę dla pręta jednostronnie utwierdzonego, obciążonego siłą śledzącą. Sformułujemy naprężeniowy warunek bezpieczeństwa przy założeniu sprężystości materiału; nie będziemy poruszali znacznie trudniejszego problemu pojawienia się odkształceń plastycznych.

STRESS CRITERION OF SAFETY FOR NON-CONSERVATIVE PROBLEMS OF ELASTIC STABILITY

The critical values of non-conservative loads are, as a rule, much higher than those resulting from a potential; for instance, the critical tangential (i.e. remaining normal to the end cros-section) force for a cantilever beam exceeds by about eight times the corresponding eulerian force. In this respect, the problem of applicability of these results in engineering practice becomes of primary importance. In the paper, the analysis of the stress distribution in a vibrating cantilever beam loaded by a subcritical tangential force is given. In general, the exact equation of vibrations of the system with distributed masses is considered, whereas in numerical calculations two leading modes of vibrations are taken into account. It is shown that the maximum stress occurs either at the clamped end of the beam or at a certain intermediate point of the length (local maximum). The stress criterion of safety was formulated and shown graphically for various ratios of admissible stress k to the Young’s modulus E. The results are compared with the case of conservative compressive forces. It is shown that the admissible force exceeds by many times the corresponding value of a force fixed in direction, provided the admissible stress k remains the same.