Analiza pewnego układu nieliniowego przy wymuszeniu stochastycznym

Rozpatrujemy układ o jednym stopniu swobody, o współczynniku inercyjności m, współczynniku tarcia lepkiego l i sile sprężystości k(x). Charakterystyka sprężysta k(x) jest nieparzysta. Zakładamy, że siła wymuszająca F(t) jest procesem stochastycznym typu „biały szum”
o rozkładzie normalnym. Funkcja wymuszająca f(t) jest stacjonarną, ciągłą funkcją losową, będącą zbiorem poszczególnych swych realizacji. Reakcja układu x(t), zależna od własności dynamicznych układu oraz od wymuszenia, jest również zbiorem realizacji x(t), odpowiadających realizacjom f(t). Dla układów liniowych można znaleźć wzajemną odpowiedniość między
x(t) i f(t) za pomocą liniowego funkcjonału charakteryzującego dany układ. Korzystając z zasady superpozycji, można z dowolną dokładnością określić charakterystyki funkcji losowej x(t). Ponieważ dla układów nieliniowych nie obowiązuje zasada superpozycji, tylko w nielicznych przypadkach można znaleźć pełne charakterystyki reakcji. Do nielicznych wyjątków należy stacjonarna reakcja układu na proces wymuszający typu „biały szum”. W przypadku tym gęstość rozkładu współrzędnych stanu układu
można znaleźć jako rozwiązanie cząstkowego równania różniczkowego, tzw. równania Fokkera—Plancka. Dotychczas nie znaleziono rozwiązania tego równania dla przypadku, gdy układ znajduje się w stanie przejściowym.

ANALYSIS OF ONE CLASS NONLINEAR SYSTEM TO STOCHASTIC EXCITATION

In the paper the response of the nonlinear system with the piecewise linear spring characteristic to stochastic excitation “white noise” is given. The probable density of the stationary process is determined by the Fokker-Planck partial differential equation. The variance of the displacement and the velocity as well as the mean frequency of the vibration of the system have been found. The technical stability of the system [5] is analysed. The set of the parameters of the system for its given reliability have been found. The system determined for this set is technical stability.